Kumpulan Rumus Matematika Remastered

Eksponen

1. $$ a^n = \underbrace { a \times a \times ... \times a} _ {\text{(n kali)}} $$
2. $$ a^0 = 1, a\neq 0 $$
3. $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
4. $$a^m a^n = a^{m+n}$$
5. $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
6. $$(ab)^n= a^n b^n$$
7. $$\Big(\frac{a}{b} \Big)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
8. $$(a^m)^n=a^{mn}$$
9. $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Aljabar

1. $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$
2. $$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$
3. $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
4. $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
5. $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
6. $$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$
7. $$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$$
8. $$a^3+b^3+c^3-3abc$$$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$
9. $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$$
10. $$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$

Pertidaksamaan

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Jika \(a > b\), maka

1. \(a \pm p > b \pm p\)
2. \(ap > bp\) untuk \(p\) positif
3. \(ap < bp\) untuk \(p\) negatif (tanda berubah)

Jika \(a > b > 0\), maka

1. \(a^2 > b^2\)
2. $$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$$

Penyelesaian Pertidaksamaan

1. Tentukan \(\text{HP}_1\) dari syarat fungsi
2. Nol kan ruas kanan
3. Tentukan pembuat nol
4. Tulis ke dalam garis bilangan
5. Lakukan uji titik pada selang batas-batas pembuat nol
6. \(\text{HP}_2\) berada pada:
• Jika \(f(x)>0\), maka ada pada selang positif
• Jika \(f(x)<0\), maka ada pada selang negatif
7. \(\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2\)

Bentuk Akar

$$\sqrt{a} > \sqrt{b}$$

1. Syarat domain, \(a\geq 0\) dan \(b \geq 0\)
2. Kuadratkan kedua ruas
3. \(\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2\)

Harga Mutlak

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{untuk } x\geq 0 \\ -x, &\text{untuk }x < 0 \end{cases}$$

1. \(|x|< a \leftrightarrow -a < x <a \)
2. \(|x|>a \leftrightarrow x>a \cup x<-a\)

Cara lain, yaitu dengan meng-kuadrat-kan kedua ruas:

$$\begin{align}|x|& >|y| \\ x^2 & >y^2\\x^2-y^2& >0\\(x+y)(x-y)& >0 \end{align}$$

Pertidaksamaan Eksponen

$$a^{f(x)}>a^{g(x)}$$

Jika \(a>1\), maka \(f(x)>g(x)\)

Jika \(0 < a < 1\), maka \(f(x) < g(x)\)

Pertidaksamaan Logaritma

$$\log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)}$$

Jika \(a > 1\), maka \(f(x) > g(x)\)

Jika \(0 < a < 1\), maka \(f(x) < g(x)\)

Persamaan Garis

Persamaan Garis

1. \(y=mx+c\)
2. $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
3. \(y-y_1=m(x-x_1)\)

Gradien \((m)\)

Kemiringan suatu garis

Hubungan Antar Garis

Jika terdapat 2 persamaan garis:
\(y=m_1x+c_1\)
\(y=m_2x+c_2\)

• Sejajar: \(m_1=m_2\)
• Tegak lurus: \(m_1m_2=-1\)
• Berpotongan: \(tg \alpha = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\)

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik \((x_1,y_1)\) ke garis \(ax+by+c=0\) $$d=\left|\frac{ax_1+by_1+C}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$$

Fungsi Kuadrat

Bentuk Umum

$$y=f(x)=ax^2+bx+c, a\neq 0$$

Titik Puncak/Ekstrim/Min/Maks

$$(x_p,y_p)=\left(\frac{-b}{2a},\frac{D}{-4a}\right)$$

\(x_p=\) sumbu simetri
\(y_p=\) nilai ekstrim
\(x=\) absis

\(y=\) ordinat

Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Jika diketahui:

• Tiga titik sembarang
  \(y=ax^2+bx+c\)
  (eliminasi)
• Titik puncak
  \(y-y_p=a(x-x_p)^2\)
• Titik potong dengan sumbu \(x\)
  \(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Hubungan \(a,b,c\) dan \(D\) terhadap kurva

Nilai \(a\)

Nilai \(b\)

Nilai \(c\)*

• \(c > 0\) memotong sumbu \(y\) positif
• \(c < 0\) memotong sumbu \(y\) negatif
• \(c = 0\) memotong sumbu \(y\) di 0

* ketika parabola memotong sumbu \(y\), maka \(x=0\), sehingga \(y=c\)

Nilai \(D\)

• \(D>0\) memotong sumbu \(x\)
• \(D=0\) menyinggung sumbu \(x\)
• \(D<0\) tidak memotong sumbu \(x\)

Note: Untuk mengetahui hubungan antara garis dengan parabola, subtitusi persamaan garis ke dalam parabola, tentukan nilai \(D\)

Definit

Definit positif: \(a > 0\) dan \(D < 0\)

Definit negatif: \(a < 0\) dan \(D < 0\)

Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum

$$ax^2+bx+c=0,\ a \neq 0$$

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

• \(D=b^2-4ac\)
• \(D>0:\) Akar riil berbeda
• \(D=0:\) Akar riil kembar
• \(D<0:\) Akar imajiner

Operasi Akar-Akar

• $$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$$
• $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$
• $$x_1-x_2=\pm \frac{\sqrt{D}}{a}$$
• $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2 x_1 x_2$$
• $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$$
• $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
• $$x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$$

Sifat Akar-Akar

• Dua akar positif
  $$x_1+x_2>0 ;\ x_1x_2>0;\ D\geq 0$$
• Dua akar negatif
  $$x_1+x_2<0 ;\ x_1x_2>0;\ D\geq 0$$
• Saling berlawanan
  $$x_1x_2<0 ;\ D> 0$$
• Saling berkebalikan
  $$x_1x_2=1;D> 0$$

Persamaan Kuadrat Baru

Menyelesaikan pers. kuadrat baru

1. Misalkan akar-akar barunya \(p\) dan \(q\)
2. Tentukan \(p+q\)
3. Tentukan \(pq\)
4. Subtitusi ke dalam pers. kuadrat baru $$x^2-(p+q)x+pq=0$$

Lingkaran

Persamaan Lingkaran

• Berpusat di \((0,0)\): \(x^2+y^2=R^2\)
• Berpusat di \((a,b)\): \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)
• Umum: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
  Pusat\(=\left(\dfrac{-A}{2},\dfrac{-B}{2}\right),R=\sqrt{\dfrac{A^2}{4}+\dfrac{B^2}{4}-C}\)

Hubungan Garis dan Lingkaran

Subtitusi persamaan garis ke lingkaran

• Berpotongan di 2 titik: \(D>0\)
• Bersinggungan: \(D=0\)
• Tidak berpotongan: \(D < 0\)

Persamaan Garis Singgung

1. PGSL untuk \(x^2+y^2=R^2\)
• \(x_1x+y_1y=R^2\)
• \(y=mx\pm R\sqrt{m^2+1} \)
2. PGSL untuk \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)
• \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=R^2\)
• \(y-b=m(x-a)\pm R\sqrt{m^2+1}\)
3. PGSL untuk \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
   \(x_1x+y_1y+\frac{1}{2}A(x+x_1)+\frac{1}{2}B(y+y_1)+C=0\)

Panjang Garis Singgung 2 Lingkaran

• Garis singgung luar

$$GL=\sqrt{l^2-(R-r)^2}$$

• Garis singgung dalam

$$GD=\sqrt{l^2-(R+r)^2}$$

Logika Matematika

Tabel Kebenaran

Negasi

1. \(\neg B= S\)
2. \(\neg S= B\)
3. \(\neg \forall = \exists \)
4. \(\neg \exists = \forall \)
5. \(\neg (p \Rightarrow q)=p\wedge\neg q\)

Ekuivalensi

• \((p\Rightarrow q) \equiv (\neg q \Rightarrow \neg q) \equiv (\neg p \vee q)\)
• \(\neg (p\vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q\)
• \(\neg (p\wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q\)
• \(\neg (p\Rightarrow q)\equiv p\wedge \neg q\)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Diketahui \(p\Rightarrow q\) (implikasi), maka:

• Konver: \(q\Rightarrow p\)
• Invers: \(\neg p \Rightarrow \neg q\)
• Kontraposisi: \(\neg q \Rightarrow \neg p\)

Penarikan Kesimpulan

Suku Banyak

Bentuk Umum

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{x-1}+\ldots+a_1x+a_0$$

Keterangan: \(n=\) derajat suku banyak

Pembagian Suku Banyak

$$f(x)=h(x)\cdot p(x)+s(x)$$

\(f(x)=\) suku banyak

\(h(x)=\) hasil bagi

\(p(x)=\) pembagi

\(s(x)=\) sisa

Teorema Sisa

• Jika suatu suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \((x-k)\), maka sisanya adalah \(f(x)\)
• Jika pembagi berderajat \(n\) maka sisanya berderajat \(n-1\)
• Jika suku banyak berderajat \(m\) dan pembagi berderajat \(n\), maka hasil baginya berderajat \((m-n)\)

Teorema Vieta

• Jumlah 1 akar \((x_1+x_2+\ldots+x_n)=\dfrac{-b}{a}\)
• Jumlah 2 akar \((x_1x_2+x_1x_3+\ldots)=\dfrac{c}{a}\)
• Jumlah 3 akar \((x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\ldots)=\dfrac{-d}{a}\)
• Selanjutnya, ikuti pola

Fungsi

Domain

Daerah asal dari suatu fungsi

• \(f(x)=\sqrt{a}\) domainnya adalah \(a>=0\)
• \(f(x)=\dfrac{a}{b}\) domainnya adalah \(b\neq0\)
• \(f(x)=\log_{a}{b}\) domainnya adalah \(a>0,a\neq1,b>0\)

Fungsi Invers

Invers dari \(f(x)\) dinotasikan sebagai \(f^{-1}(x)\)

$$f(x)=y \Rightarrow f^{-1}(y)=x$$

• \(f(x)=ax+b\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}\)
• \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}\)
• $$f(x)=a^{bx+c}\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{log_{a}{(x)}-c}{b}$$
• \(f(x)=\log_{a}{(bx+c)}\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{a^x-c}{b}\)

Fungsi Komposisi

• $$(f\circ g)(x)= f(g(x))$$
• $$(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)$$
• $$(f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}\circ f^{-1}(x)$$
• $$f^{-1}\circ f(x)=f \circ f^{-1}(x)=x$$

Limit

Sifat Limit

Jika fungsi memiliki limit, maka

• $$ \lim_{x\to a}k=k$$
• $$ \lim_{x\to a}x=a$$
• $$ \lim_{x\to a}k\cdot f(x)=k\cdot \lim_{x\to a} f(x) $$
• $$ \lim_{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right]= \lim_{x\to a} f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x) $$
• $$ \lim_{x\to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]= \lim_{x\to a} \cdot \lim_{x\to a} g(x)$$
• $$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} \ \ , \lim_{x\to a}g(x)\neq 0 $$
• $$ \lim_{x\to a}\left(f(x)\right)^n = \left(\lim_{x\to a}f(x)^n\right)$$
• $$ \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$$

Limit Dengan Bentuk $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$$

Misal untuk: \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+8x-9}{x^2-1}= \ldots\)

• Metode Pemfaktoran

Memfaktorkan pembilang dan penyebut, maka

$$ \begin{align} &=\lim_{x\to 1} \frac{(x+9)(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\ &=\lim_{x\to 1} \frac{(x+9)}{(x+1)}\\ &=5 \end{align} $$

• Metode L'hopital

Mendifferensiasikan pembilang dan penyebut

$$ \begin{align} &=\lim_{x\to 1} \frac{2x+8}{2x}\\ &=5 \end{align} $$

Limit Dengan Bentuk \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}\)

$$\lim_{x\to \infty}\frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+\ldots+a_m}{b_1x^n+b_2x^{n-1}+\dots+b_n}=$$

Penyelesaian, jika:

• \(m>n\), maka $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$$
• \(m=n\), maka $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_1}{b_1}$$
• \(m<n\), maka $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$$

Limit Dengan Bentuk \(\lim\limits_{x\to \infty}\left(f(x)-g(x)\right)=\infty-\infty\)

$$\lim_{x\to\infty} \left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)=\ldots$$

Penyelesaian, jika:

• \(a>p\), maka $$\lim_{x\to\infty} \left(f(x)-g(x)\right)=\infty$$
• \(a=p\), maka $$\lim_{x\to\infty} \left(f(x)-g(x)\right)=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$$
• \(a<p\), maka $$\lim_{x\to\infty} \left(f(x)-g(x)\right)=-\infty$$

Limit Trigonometri

• $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{bx}=\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\sin(bx)}=\frac{a}{b}$$
• $$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{bx}=\lim_{x\to 0} \frac{ax}{\tan(bx)}=\frac{a}{b}$$
• $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{\tan(bx)}=\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{\sin(bx)}=\frac{a}{b}$$

Persamaan yang sering digunakan

• $$1-\cos(A)=2\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)$$
• $$1-\cos^2(A)=\sin^2(A)$$
• $$\cos(A)=\frac{\sin(A)}{\tan(A)}$$

Statistika

Rata-Rata/Mean

$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$

$$\bar{x}=x_s+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}=x_0+\left(\frac{\sum f_i ci}{\sum f_i}\right)p$$

Note:

\(\bar{x}=\) Rata-rata

\(x_s=\) Rata-rata sementara

\(x_0=\) Tanda kelas

\(f=\) Frekuensi

\(d=\) Deviasi \(d_i=x_i-x_s\)

\(p=\) Panjang kelas

\(c=\) Sandi tanda kelas, \(c=0\) untuk \(x_0\)

Modus

$$M_0=t_{mo}+\left(\frac{L_1}{L_1+L_2}\right)p$$

Note:

\(M_o=\) Modus

\(t_{mo}=\) Tepi bawah kelas modus

\(L_1=f\) kelas modus - \(f\) kelas sebelumnya

\(L_2=f\) kelas modus - \(f\) kelas sesudahnya

Median

$$M_e=t_{me}+\left(\frac{\frac{n}{2}-f_k}{f_me}\right)p$$

Note:

\(M_e=\) Median

\(t_{me}=\) Tepi bawah kelas median

\(f_k=\) Frekuensi kumulatif sebelum kelas median

\(f_{me}=\) Frekuensi kelas median

Kuartil

$$Q_i=t_q+\left(\frac{\frac{i}{4}n -f_k}{f_q}\right)p$$

Note:

\(Q_i =\) Kuartil ke-i

\(t_q =\) Tepi bawah kelas kuartil

\(f_q =\) Frekuensi kelas kuartil

Untuk desil: \(\frac{i}{10}n\)

Untuk persentil: \(\frac{i}{100}n\)

Ukuran Penyebaran

• Jangkauan

$$J=x_{besar}-x_{kecil}$$

• Ragam

$$R=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}$$

• Simpangan baku

$$S=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n}}$$

• Simpangan rata-rata

$$S_R=\frac{\sum |x_i-\bar{x}|}{n}$$

• Simpangan kuartil

$$Q_d=\frac{1}{2}(Q_3-Q_1)$$

Peluang

Kombinatorik

Jika suatu masalah diselesaikan dengan \(m\) cara dan masalah lain dengan \(n\) cara, maka gabungannya dapat diselesaikan dengan \(m\times n\) cara.

Contoh: Ada 2 baju dan 3 celana, banyaknya cara berpakaian yang mungkin adalah \(2\times 3 = 6\) cara

Permutasi

Susunan elemen dalam urutan tanpa ada pengulangan elemen

\(n!=1\times 2\times \ldots \times (n-1) \times n\) dan \(0!=1\)

• Permutasi \(n\) elemen dari \(n\) elemen

$$P^n_n=n!$$

• Permutasi \(r\) elemen dari \(n\) elemen

$$P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

• Permutasi dari elemen yang sama

$$P^n_{(k,l,m)}=\frac{n!}{k!l!m!}$$

• Permutasi siklis

$$P^n_S=(n-1)!$$

Kombinasi

Susunan dari semua/sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan

$$C^n_r=\frac{n!}{(n-r)!r!}$$

Penyebaran Binomial, pola bilangan Segitiga Pascal

$$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}C^n_ka^{n-k}b^k$$

Frekuensi Harapan

$$F(A)=n\cdot P(A)$$

Barisan dan Deret

Deret Aritmatika

$$b=U_n-U_{n-1}$$

$$b=\frac{U_n-U_p}{n-p}$$

• $$U_n=a+b(n-1)$$
• $$U_n=U_p+b(n-p)$$
• $$U_n=S_n-S_{n-1}$$
• $$S_n=\frac{n}{2}\left(a+U_n\right)=\frac{n}{2}\left(2a+b(n-1)\right)$$
• $$U_t=\frac{a+U_n}{2}$$

Deret Geometri

$$r=\frac{U_n}{U_n-1}$$

$$r=\sqrt[n-p]{\frac{U_n}{U_p}}$$

$$U_n=a\cdot r^{n-1}$$

$$U_n=U_p\cdot r^{n-p}$$

$$S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$$

$$U_t=\sqrt{a\cdot U_n}$$

Deret Geometri Tak Hingga

1. Divergen

$$r\leq -1 \cup r\geq 1$$

Jumlah deret ini tidak bisa ditentukan

2. Konvergen

$$-1 < r < 1$$

$$S_\infty = \frac{a}{1-r}$$

• Deret tak hingga ganjil

$$U_1+U_3+U_5+\ldots=\frac{a}{1-r^2}$$

• Deret tak hingga genap

$$U_2+U_4+U_6+\ldots=\frac{ar}{1-r^2}$$

Matematika Keuangan

Bunga

• Bunga Tunggal

$$I=M\times i\times n$$

\(I=\) Bunga yang diperoleh

\(M=\) Modal awal

\(i=\) Presentasi bunga

\(n=\) Jangka waktu

• Bunga Majemuk

$$M_n=M(1+i)^n$$

\(M_n=\) Modal setelah dibungakan

\(M=\) Modal awal

\(i=\) Persentase bunga

\(n=\) Jangka waktu

Anuitas

• Anuitas

$$A=\frac{M\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}$$

\(A=\) Anuitas

\(M=\) Pinjaman

\(i=\) Bunga

\(n=\) Periode pinjaman

• Angsuran

$$a_n=a_1 \left(1+i \right)^{n-1}$$

\(a_1=\) Angsuran pertama

\(a_n=\) Angsuran ke-\(n\)

\(i=\) Bunga

\(n=\) Periode pinjaman

• Sisa

$$S_n=\frac{b_{n+1}}{i}$$

\(S_n=\) Sisa pembayaran

\(b=\) Bunga periode

\(i=\) Bunga

Logaritma

$$a^c=b$$

$$\log_a(b)=c,\ a > 0,\ a\neq 0,\ b> 0$$

Sifat-Sifat Logaritma

• $$\log_a{a}=1$$
• $$\log_a{bc}=\log_a{b}+\log_a{c}$$
• $$\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}$$
• $$\log_{a^n}{b^m}=\frac{m}{n}\log_a{b}$$
• $$\log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}$$
• $$\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$$
• $$a^{\log_a{b}}=b$$
• $$a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}$$
• $$\log_a{b} \cdot \log_b{c}=\log_a{c}$$

Trigonometri

Sudut Istimewa

1. $$\sin(60°)=\ldots$$


Pada gambar, \(\sin\) terletak di sebelah kiri, maka hitunglah 60° dari sebelah kiri sehingga diperoleh \(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)

2. $$\cos(150°)=\ldots$$


Pada gambar, \(\cos\) terletak di sebelah kanan, maka hitunglah 150° dari sebelah kanan sehingga diperoleh \(-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\) (negatif karena di kuadran 2)

\( \begin{align} \tan(x)&=\tan(\alpha)\\ x&=\alpha \pm k\cdot 180 ° \end{align} \)

Aturan Segitiga Siku-Siku

Aturan Sinus

Aturan Cosinus

• $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(A)$$

• $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B)$$

• $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C)$$

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

• $$\sin(A + B)=\sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$$

• $$\sin(A - B)=\sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$$

• $$\cos(A + B)=\cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$$

• $$\cos(A - B)=\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$$

• $$\tan(A + B)=\frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\tan(B)}$$

• $$\tan(A - B)=\frac{\tan(A) - \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}$$

Sudut Kembar

• $$\sin(2A)=2\sin(A)\cos(A)$$

• $$\begin{align} \cos(2A) &=\cos^2(A)-\sin^2(A) \\ &=2\cos^2(A)-1 \\ &=1-2\sin^2(A) \end{align}$$

• $$\tan(2A)=\frac{2\tan(A)}{1-\tan^2(A)}$$

Jumlah dan Selisih Fungsi

• $$\sin(A)+\sin(B)=2\sin\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg) \cos\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg) $$

• $$\sin(A)-\sin(B)=2\cos\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg) \sin\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg) $$

• $$\cos(A)+\cos(B)=2\cos\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg) \cos\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg) $$

• $$\cos(A)-\cos(B)=-2\sin\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg) \sin\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg) $$

Perkalian

• $$2\sin(A)\sin(B)=\cos(A-B)-\cos(A+B)$$

• $$2\cos(A)\cos(B)=\cos(A-B)+\cos(A+B)$$

• $$2\sin(A)\cos(B)=\sin(A+B)+\sin(A-B)$$

• $$2\cos(A)\sin(B)=\sin(A+B)-\sin(A-B)$$

Sudut Paruh

• $$\sin\left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(A)}{2}}$$

• $$\cos\left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(A)}{2}}$$

• $$\tan\left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}}$$

• $$\tan\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{\sin(A)}{1+\cos(A)}$$

• $$\tan\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1-\cos(A)}{\sin(A)}$$

Untuk menentukan positif atau negatif, lihatlah di kuadran berapa sudut \(\frac{1}{2}A\) berada

Persamaan Trigonometri

$$a \sin(x) \pm b \cos(x) = R \sin (x \pm a)$$

$$a \cos(x) \pm b \sin(x) = R \cos (x \mp a)$$

dengan

Vektor

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah suatu vektor dengan titik pangkal 0

A \( (x,y,z)\), vektor posisi A adalah \( \bar{a}\)

$$\bar{a}=\overline{OA}=xi+yj+zk = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

Vektor Satuan

Panjang Vektor

• $$|\bar{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

• $$\Big|\bar{a}+\bar{b}\Big|=\sqrt{\Big|\bar{a} \Big|^2+\Big|\bar{b} \Big|^2+2\Big|\bar{a} \Big|\Big|\bar{b} \Big| \cos{\alpha}}$$

• $$\Big|\bar{a}-\bar{b}\Big|=\sqrt{\Big|\bar{a} \Big|^2+\Big|\bar{b} \Big|^2-2\Big|\bar{a} \Big|\Big|\bar{b} \Big| \cos{\alpha}}$$

Operasi Vektor

• $$\bar{a}+\bar{b}=\begin{pmatrix} x_a+x_b\\ y_a+y_b\\ z_a+z_b \end{pmatrix}$$

• $$\bar{a}-\bar{b}=\begin{pmatrix} x_a-x_b\\ y_a-y_b\\ z_a-z_b \end{pmatrix}$$

• $$\bar{a}\cdot\bar{b}=x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b$$

• $$\bar{a}\cdot\bar{b}=\Big|\bar{a}\Big| \Big|\bar{b}\Big| \cos(\alpha)$$

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi ortogonal dari vektor \(\bar{a}\) terhadap vektor \(\bar{b}\)

Turunan

$$y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

Rumus-Rumus Dasar

Rumus-Rumus Lanjutan

Chain Rule

Jika \(y=f(u)\) dan \(u=u(x)\), maka turunannya adalah

Contoh:

Jika \(y=\sin\left(x^2+3\right)\) tentukan \(\dfrac{dy}{dx}\)

Misalkan \(u=x^2+3\) sehingga \(\dfrac{du}{dx}=2x\)

$$ \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\\ &=\cos(u) \cdot 2x\\ &=2x \cos(x^2+3) \end{align} $$

Aplikasi Turunan

• Gradien kurva pada titik \((a,b)\) adalah \(m=f'(a)\)
• Fungsi turun : \(f'(x)<0\)
• Fungsi naik : \(f'(x)>0\)
• Maks : \(f'(x)=0;\ f''(x)<0\)
• Min : \(f'(x)=0;\ f''(x)>0\)
• Titik belok : \(f''(x)=0\)

Integral

Integral adalah kebalikan dari turunan, yaitu mencari fungsi \(F(x)\) yang turunannya adalah \(f(x)\)

Integral Fungsi Aljabar

$$\int ax^n\,dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C, n\neq -1$$

Sifat Linear Integral

• $$\int \left[f(x)+g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$$
• $$\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$$

Integral Tentu

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Sifat-Sifat Integral Tentu

• $$\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0$$
• $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx$$
• $$\int_{a}^{c} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx+\int_{b}^{c} f(x)\,dx,\ a < b <c$$
• $$\int_{a}^{b} kf(x)\,dx=k\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

Rumus-Rumus Integral

Integral Parsial

$$\int u \,dv = uv - \int v \,du$$

Integral Subtitusi

Misalkan \(u=g(x)\) dan \(du=g'(x)\,dx\)

Maka integral tersebut dapat ditulis sebagai

$$\int f \big( g(x) \big) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$

Menentukan Luas Daerah

• $$L=\int_{a}^b \left( y_{atas} - y_{bawah} \right) \,dx$$
• $$L=\int_{a}^b \left( y_{kanan} - y_{kiri} \right) \,dy$$

Menentukan Volume

• $$V_x=\pi \int_{a}^b \left( y_{atas}^2 - y_{bawah}^2\right) \,dx$$
• $$V_y=\pi \int_{a}^b \left( y_{kanan}^2 - y_{kiri}^2\right) \,dy$$

Matriks

Ordo Matriks

Ordo matriks adalah banyaknya baris dan kolom dari suatu matriks. Contoh: Matriks \(A\) berordo \(m \times n\) berarti matriks tersebut memiliki \(m\) baris dan \(n\) kolom.

Operasi Matriks

• $$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p &q \\ r &s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+p &b+q \\ c+r &d+s \end{pmatrix}$$
• $$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p &q \\ r &s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-p &b-q \\ c-r &d-s \end{pmatrix}$$
• $$k \cdot \begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka &kb \\ kc &kd \end{pmatrix}$$
• $$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p &q \\ r &s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap+br &aq+bs \\ cp+dr &cq+ds \end{pmatrix}$$

Determinan Matriks

Determinan matriks adalah suatu bilangan yang dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu matriks memiliki invers atau tidak.

Determinan matriks \(A\) berordo \(2 \times 2\) adalah

$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix}=ad-bc$$

Determinan matriks \(A\) berordo \(3 \times 3\) adalah

$$\begin{align} \text{det}(A)&=\begin{vmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{vmatrix}\\&=a\begin{vmatrix} e &f \\ h &i \end{vmatrix}-b \begin{vmatrix} d &f \\ g &i \end{vmatrix}+c \begin{vmatrix} d &e \\ g &h \end{vmatrix} \\&= a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&= (aei+bdh+cfg)-(bdi+afh+ceg)\end{align}$$

Sifat Determinan Matriks

• \(\text{det}(A^T)=\text{det}(A)\)
• \(\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}\)
• \(\text{det}(kA)=k^n\cdot \text{det}(A)\)
• \(\text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)\)
• \(\text{det}(A^k)=(\text{det}(A))^k\)

Matriks Transpos

Matriks transpos adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

$$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \\ e &f \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} a &c &e \\ b &d &f \end{pmatrix}$$

Invers Matriks

Invers matriks jika dikalikan dengan matriks aslinya akan menghasilkan matriks identitas. Invers dari matriks \(A\) ditulis sebagai \(A^{-1}\)

$$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)}\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}$$

Persamaan Matriks

$$ \begin{align} A\cdot B &= C \\ A &= C\cdot B^{-1} \\ B &= A^{-1}\cdot C \end{align} $$

Transformasi Geometri

Translasi

Translasi adalah pergeseran suatu objek geometri dari satu posisi ke posisi lain tanpa mengubah bentuk, ukuran, atau orientasi

Translasi dari titik \((x,y)\) sejauh \((a,b)\) adalah titik \((x',y')\), dengan

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}$$

Rotasi

Rotasi adalah perputaran suatu objek geometri terhadap titik pusat rotasi dengan sudut tertentu

Rotasi dari titik \((x,y)\) terhadap titik pusat \((h,k)\) dengan sudut \(\theta\) adalah titik \((x',y')\), dengan

$$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - h \\ y - k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} h + (x-h)\cos(\theta) - (y-k)\sin(\theta) \\ k + (x-h)\sin(\theta) + (y-k)\cos(\theta) \end{pmatrix} \end{align}$$

Refleksi

Refleksi adalah pencerminan suatu objek geometri terhadap garis atau bidang tertentu

Refleksi dari titik \((x,y)\) adalah titik \((x',y')\), dengan

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

• Jika garis refleksi adalah sumbu \(x\), maka $$M=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}$$
• Jika garis refleksi adalah sumbu \(y\), maka $$M=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$$
• Jika garis refleksi adalah garis \(y=x\), maka $$M=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$$
• Jika garis refleksi adalah garis \(y=-x\), maka $$M=\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}$$
• Jika garis refleksi adalah garis \(y=mx\), maka $$M=\begin{pmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2} \end{pmatrix}$$

Jika garis refleksi adalah garis \(y=mx+c\), maka

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - h \\ y - k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}$$

Di mana \(h\) dan \(k\) adalah titik yang dilalui oleh garis sumbu refleksi

Dilatasi

Dilatasi adalah perbesaran atau pengecilan suatu objek geometri terhadap titik pusat dilatasi dengan faktor skala tertentu

Dilatasi dari titik \((x,y)\) terhadap titik pusat \((h,k)\) dengan faktor skala \(n\) adalah titik \((x',y')\), dengan

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix} x - h \\ y - k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix}$$